§24. Дифференциал функции

24.1. Понятие дифференциала функции

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать D у/D х=ƒ"(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х.

Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ"(х) ∆х и а ∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так кака второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:

Поэтому первое слагаемое ƒ"(х)· ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ"(х) ∆х. (24.1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у"=х"=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

dy=ƒ"(х)dх, (24.2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (24.2) следует равенство dy/dx=ƒ"(х). Теперь обозначение

производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

<< Пример 24.1

Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x 2 -sin(l+2x).

Решение: По формуле dy=ƒ"(х) dx находим

dy=(3х 2 -sin(l+2x))"dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

<< Пример 24.2

Найти дифференциал функции

Вычислить dy при х=0, dx=0,1.

Решение:

Подставив х=0 и dx=0.1, получим

24.2. Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ½ =∆х, |AM 1 |=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ"(х). Поэтому АВ=ƒ"(х) ∆х.

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

24.3 Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy=f"(x)dx) и соответствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции у=с равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: dy=с"dx=0 dx=0.

Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть у=ƒ(u) и u=φ(х) две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию у=ƒ(φ(х)). По теореме о производной сложной функции можно написать

у" х =у" u u" x .

Умножив обе части этого равенства на dx, поучаем у" х dx=у" u u" х dx. Но у" х dx=dy и u" х dx=du. Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

dy=у" u du.

Сравнивая формулы dy=у" х dx и dy=у" u du, видим, что первый дифференциал функции у=ƒ(х) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Формула dy=у" х dx по внешнему виду совпадает с формулой dy=у" u du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле х - независимая переменная, следовательно, dx=∆х, во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du≠∆u.

С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

Например: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. Таблица дифференциалов

24.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α ∆х. Отбрасывая бесконечно малую α ∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство

∆у≈dy, (24.3)

причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.

<< Пример 24.3

Найти приближенное значение приращения функции у=х 3 -2х+1 при х=2 и ∆х=0,001.

Решение: Применяем формулу (24.3): ∆у≈dy=(х 3 -2х+1)" ∆х=(3х 2 -2) ∆х.

Итак, ∆у» 0,01.

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем ∆у:

∆у=((х+∆х) 3 -2(х+∆х)+1)-(х 3 -2х+1)=х 3 +3х 2 ∆х+3х (∆х) 2 +(∆х) 3 -2х-2 ∆х+1-х 3 +2х-1=∆х(3х 2 +3х ∆х+(∆х) 2 -2);

Абсолютная погрешность приближения равна

|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.

Подставляя в равенство (24.3) значения ∆у и dy, получим

ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ"(х)∆х

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)

Формула (24.4) используется для вычислений приближенных значений функций.

<< Пример 24.4

Вычислить приближенно arctg(1,05).

Решение: Рассмотрим функцию ƒ(х)=arctgx. По формуле (24.4) имеем:

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,

т. е.

Так как х+∆х=1,05, то при х=1 и ∆х=0,05 получаем:

Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не превышает величины М (∆х) 2 , где М - наибольшее значение |ƒ"(х)| на сегменте [х;х+∆х].

<< Пример 24.5

Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения тела

H=g л t 2 /2, g л =1,6 м/с 2 .

Решение: Требуется найти H(10,04). Воспользуемся приближенной формулой (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. При t=10 с и ∆t=dt=0,04 с, H"(t)=g л t, находим

Задача (для самостоятельного решения). Тело массой m=20 кг движется со скоростью ν=10,02 м/с. Вычислить приближенно кинетическую энергию тела

24.6. Дифференциалы высших порядков

Пусть у=ƒ(х) дифференцируемая функция, а ее аргумент х - независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy=ƒ"(х)dx есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции у=ƒ(х) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d 2 y или d 2 ƒ(х).

Итак, по определению d 2 y=d(dy). Найдем выражение второго дифференциала функции у=ƒ(х).

Так как dx=∆х не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным:

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(х)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 т. е.

d 2 y=ƒ"(х)dх 2 . (24.5)

Здесь dx 2 обозначает (dx) 2 .

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка

d 3 y=d(d 2 y)=d(ƒ"(х)dx 2)≈f"(x)(dx) 3 .

И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .

Отсюда находим, что, В частности, при n=1,2,3

соответственно получаем:

т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х - независимая переменная. Если же функцию у=ƒ(х), где х - функция от кαкой-mo другой независимой переменной , то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.

Используя формулу дифференциала произведения (d(uv)=vdu+udv), получаем:

d 2 y=d(f"(x)dx)=d(ƒ"(х))dx+ƒ"(х) d(dx)=ƒ"(х)dx dx+ƒ"(х) d 2 x, т. е.

d 2 y=ƒ"(х)dx 2 +ƒ"(х) d 2 x. (24.6)

Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое ƒ"(х) d 2 х.

Ясно, что если х - независимая переменная, то

d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0

и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).

<< Пример 24.6

Найти d 2 y, если у=е 3х и х - независимая переменная.

Решение: Так как у"=3е 3х, у"=9e 3х, то по формуле (24.5) имеем d 2 y=9e 3x dx 2 .

<< Пример 24.7

Найти d 2 y, если у=х 2 и х=t 3 +1и t- независимая переменная.

Решение: Используем формулу (24.6): так как

у"=2х, у"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2 ,

то d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2

Другое решение: у=х 2 , х=t 3 +1. Следовательно, у=(t 3 +1) 2 . Тогда по формуле (24.5)

d 2 у=у ¢¢ dt 2 ,

d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .

Определение дифференциала

Рассмотрим функцию \(y = f\left(x \right),\) которая является непрерывной в интервале \(\left[ {a,b} \right].\) Предположим, что в некоторой точке \({x_0} \in \left[ {a,b} \right]\) независимая переменная получает приращение \(\Delta x.\) Приращение функции \(\Delta y,\) соответствующее такому изменению аргумента \(\Delta x,\) выражается формулой \[\Delta y = \Delta f\left({{x_0}} \right) = f\left({{x_0} + \Delta x} \right) - f\left({{x_0}} \right).\] Для любой дифференцируемой функции приращение \(\Delta y\) можно представить в виде суммы двух слагаемых: \[\Delta y = A\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right),\] где первый член (т.н. главная часть приращения) линейно зависит от приращения \(\Delta x,\) а второй член имеет более высокий порядок малости относительно \(\Delta x.\) Выражение \(A\Delta x\) называется дифференциалом функции и обозначается символом \(dy\) или \(df\left({{x_0}} \right).\)

Рассмотрим эту идею разбиения приращения функции \(\Delta y\) на две части на простом примере. Пусть задан квадрат со стороной \({x_0} = 1 \,\text{м}\,\) (рисунок \(1\)). Его площадь, очевидно, равна \[{S_0} = x_0^2 = 1 \,\text{м}^2.\] Если сторону квадрата увеличить на \(\Delta x = 1\,\text{см},\) то точное значение площади увеличенного квадрата будет составлять \ т.е. приращение площади \(\Delta S\) равно \[ {\Delta S = S - {S_0} = 1,0201 - 1 = 0,0201\,\text{м}^2 } = {201\,\text{см}^2.} \] Представим теперь это приращение \(\Delta S\) в таком виде: \[\require{cancel} {\Delta S = S - {S_0} = {\left({{x_0} + \Delta x} \right)^2} - x_0^2 } = {\cancel{x_0^2} + 2{x_0}\Delta x + {\left({\Delta x} \right)^2} - \cancel{x_0^2} } = {2{x_0}\Delta x + {\left({\Delta x} \right)^2} } = {A\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right) } = {dy + o\left({\Delta x} \right).} \] Итак, приращение функции \(\Delta S\) состоит из главной части (дифференциала функции), которая пропорциональна \(\Delta x\) и равна \ и члена более высокого порядка малости, в свою очередь, равного \[\omicron\left({\Delta x} \right) = {\left({\Delta x} \right)^2} = {0,01^2} = 0,0001\,\text{м}^2 = 1\,\text{см}^2.\] В сумме оба этих члена составляют полное приращение площади квадрата, равное \(200 + 1 = 201\,\text{см}^2.\)

Заметим, что в данном примере коэффициент \(A\) равен значению производной функции \(S\) в точке \({x_0}:\) \ Оказывается, что для любой дифференцируемой функции справедлива следующая теорема :

Коэффициент \(A\) главной части приращения функции в точке \({x_0}\) равен значению производной \(f"\left({{x_0}} \right)\) в этой точке, т.е. приращение \(\Delta y\) выражается формулой \[ {\Delta y = A\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right) } = {f"\left({{x_0}} \right)\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right).} \] Разделив обе части этого равенства на \(\Delta x \ne 0,\) имеем \[ {\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = A + \frac{{\omicron\left({\Delta x} \right)}}{{\Delta x}} } = {f"\left({{x_0}} \right) + \frac{{\omicron\left({\Delta x} \right)}}{{\Delta x}}.} \] В пределе при \(\Delta x \to 0\) получаем значение производной в точке \({x_0}:\) \[ {y"\left({{x_0}} \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {A = f"\left({{x_0}} \right).} \] Здесь мы учли, что для малой величины \(\omicron\left({\Delta x} \right)\) более высокого порядка малости, чем \(\Delta x,\) предел равен \[\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\omicron\left({\Delta x} \right)}}{{\Delta x}} = 0.\] Если считать, что дифференциал независимой переменной \(dx\) равен ее приращению \(\Delta x:\) \ то из соотношения \ следует, что \ т.е. производную функции можно представить как отношение двух дифференциалов.

Геометрический смысл дифференциала функции

На рисунке \(2\) схематически показана разбивка приращения функции \(\Delta y\) на главную часть \(A\Delta x\) (дифференциал функции) и член высшего порядка малости \(\omicron\left({\Delta x} \right)\).

Касательная \(MN\), проведенная к кривой функции \(y = f\left(x \right)\) в точке \(M\), как известно, имеет угол наклона \(\alpha\), тангенс которого равен производной: \[\tan \alpha = f"\left({{x_0}} \right).\] При изменении аргумента на \(\Delta x\) касательная получает приращение \(A\Delta x.\) Это линейное приращение, образованное касательной, как раз и является дифференциалом функции. Остальная часть полного приращения \(\Delta y\) (отрезок \(N{M_1}\)) соответствует "нелинейной" добавке с более высоким порядком малости относительно \(\Delta x\).

Свойства дифференциала

Пусть \(u\) и \(v\) − функции переменной \(x\). Дифференциал обладает следующими свойствами:

1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак дифференциала:

   \(d\left({Cu} \right) = Cdu\), где \(C\) − постоянное число.

2. Дифференциал суммы (разности) функций:

   \(d\left({u \pm v} \right) = du \pm dv.\)

3. Дифференциал постоянной величины равен нулю:

   \(d\left(C \right) = 0.\)

4. Дифференциал независимой переменной \(x\) равен ее приращению:

   \(dx = \Delta x.\)

5. Дифференциал линейной функции равен ее приращению:

   \(d\left({ax + b} \right) = \Delta \left({ax + b} \right) = a\Delta x.\)

6. Дифференциал произведения двух функций:

   \(d\left({uv} \right) = du \cdot v + u \cdot dv.\)

7. Дифференциал частного двух функций:

   \(d\left({\large\frac{u}{v}\normalsize} \right) = \large\frac{{du \cdot v - u \cdot dv}}{{{v^2}}}\normalsize.\)

8. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента:

   \(dy = df\left(x \right) = f"\left(x \right)dx.\)

Как видно, дифференциал функции \(dy\) отличается от производной лишь множителем \(dx\). Например, \[ {d\left({{x^n}} \right) = n{x^{n - 1}}dx,}\;\; {d\left({\ln x} \right) = \frac{{dx}}{x},}\;\; {d\left({\sin x} \right) = \cos x dx} \] и так далее.

Инвариантность формы дифференциала

Рассмотрим композицию двух функций \(y = f\left(u \right)\) и \(u = g\left(x \right),\) т.е. сложную функцию \(y = f\left({g\left(x \right)} \right).\) Ее производная определяется выражением \[{y"_x} = {y"_u} \cdot {u"_x},\] где нижний индекс обозначает переменную, по которой производится дифференцирование.

Дифференциал "внешней" функции \(y = f\left(u \right)\) записывается в виде \ Дифференциал "внутренней" функции \(u = g\left(x \right)\) можно представить аналогичным образом: \ Если подставить \(du\) в предыдущую формулу, то получим \ Поскольку \({y"_x} = {y"_u} \cdot {u"_x},\) то \ Видно, что в случае сложной функции мы получили такое же по форме выражение для дифференциала функции, как и в случае "простой" функции. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала .

ЛЕКЦИЯ 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМЫ ФЕРМА, РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА И КОШИ.

1. Дифференциал функции

1.1. Определение дифференциала функции

С понятием производной теснейшим образом связано другое фундаментальное понятие математического анализа – дифференциал функции.

Определение 1. Функция y = f (x), определенная в некоторой окрестности точки x , называется дифференцируемой в точке x , если ее приращение в этой точке

y = f (x + x) − f (x)

имеет вид

y = A · x + α(Δx) · x,

где A – постоянная, а функция α(Δx) → 0 при x → 0.

Пусть y = f (x) – дифференцируемая функция, тогда дадим следующее определение.

Определение 2. Главная линейная		часть A · x	приращения	функции f (x)
называется дифференциалом функции в точке x и обозначается dy.
Таким образом,
y = dy + α(Δx) · x.
Замечание 1. Величина dy =		x называется	главной линейной частью
приращения y в связи с тем, что другая часть приращения α(Δx) ·				x при малых
x становится гораздо меньше A ·

Утверждение 1. Для того чтобы функция y = f (x) была дифференцируемой в точке x необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f (x) дифференцируема в точке

x + α(Δx) · x, при

x → 0. Тогда

A + lim α(Δx) = A.

Поэтому производная f ′ (x) существует и равна A.

Достаточность. Пусть существует

f ′ (x), т. е. существует предел lim

F ′ (x).

F ′ (x) + α(Δx),

y = f ′ (x)Δx + α(Δx) · x.

Последнее равенство означает дифференцируемость функции y = f (x).

1.2. Геометрический смысл дифференциала

Пусть l касательная к графику функции y = f (x) в точке M (x, f (x)) (рис. 1). Покажем, что dy величина отрезка P Q. Действительно,

dy = f ′ (x)Δx = tg α x =

" " l

"" " "

" α

Итак, дифференциал dy функции f (x) в точке x равен приращению ординаты касательной l в этой точке.

1.3. Инвариантность формы дифференциала

Если x независимая переменная, то

dy = f ′ (x)dx.

Допустим, что x = ϕ(t), где t независимая переменная, y = f (ϕ(t)). Тогда

dy = (f (ϕ(t))′ dt = f ′ (x)ϕ′ (t)dt = f ′ (x)dx (ϕ′ (t)dt = dx).

Итак, форма дифференциала не изменилась, несмотря на то, что x не является независимой переменной. Это свойство и называется инвариантностью формы дифференциала.

1.4. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Из формулы y = dy + α(Δx) · x, отбрасывая α(Δx) · x, видно, что при малых

y ≈ dy = f ′ (x)Δx.

Отсюда получим

f (x + x) − f (x) ≈ f ′ (x)Δx,

f (x + x) ≈ f (x) + f ′ (x)Δx. (1) Формула (1) и используется в приближенных вычислениях.

1.5. Дифференциалы высших порядков

По определению, вторым дифференциалом от функции y = f (x) в точке x называется дифференциал от первого дифференциала в этой точке, который обозначается

d2 y = d(dy).

Вычислим второй дифференциал:

d2 y = d(dy) = d(f ′ (x)dx) = (f ′ (x)dx)′ dx = (f ′′ (x)dx)dx = f ′′ (x)dx2

(при вычислении производной (f ′ (x)dx)′ учтено, что величина dx не зависит от x и, следовательно, при дифференцировании является постоянной).

Вообще, дифференциалом порядка n функции y = f (x) называется первый

дифференциал

от дифференциала

этой функции, который

обозначается через

dn y = d(dn−1 y)

dn y = f (n) (x)dxn .

Найти дифференциал функции y = arctg x .

Решение. dy = (arctg x)′ · dx =

1+x2

Найти дифференциалы первого и второго порядков функции v = e2t .

Решение. dv = 2e2t dt , d2 v = 4e2t dt2 .

Сравнить приращение и дифференциал функции y = 2x3 + 5x2 .

Решение. Находим

5x2 =

10x)Δx + (6x + 5)Δx

dy = (6x2 + 10x)dx.

Разность между приращением

y и дифференциалом dy есть бесконечно малая высшего

порядка по сравнению с

x , равная (6x + 5)Δx2 + 2Δx3 .

Пример 4. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3, 02 м.

Решение. Воспользуемся формулой S = πr2 . Полагая r = 3 , r = 0, 02 , имеем

S ≈ dS = 2πr · r = 2π · 3 · 0, 02 = 0, 12π.

Следовательно, приближенное значение площади круга составляет 9π + 0, 12π = 9, 12π ≈

28, 66 (м 2 ).

Пример 5. Вычислить приближенное значение arcsin 0, 51 c точностью до 0,001. Решение. Рассмотрим функцию y = arcsin x . Полагая x = 0, 5 , x = 0, 01 и

применяя формулу (1)

x) ≈ arcsin x + (arcsin x)′ ·

(arcsin x)′

≈ arcsin 0, 5 +

0, 011 = 0, 513.

1 − (0, 5)2

Пример 6. Вычислить приближенно √ 3

c точностью до 0,0001.

Решение. Рассмотрим функцию y = √ 3

и положим x = 8,

x = 0, 01. Аналогично

по формуле (1)

(√ 3 x)′ =

√3

√ x + x ≈ √ 3 x + (√ 3 x)′ · x,

3√ 3 64

· 0, 01 = 2 + 3 · 4 · 0, 01 ≈ 2, 0008.

p 8, 01 ≈ √ 8 +

2. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши

Определение 3. Говорят, что функция y = f (x) имеет (или достигает) в точке α локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность U (α) точки α, что для всех x U (α) :

f (α) ≥ f (x) (f (α) ≤ f (x)).

Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием

локальный экстремум.

Функция, график которой изображен на рис. 4, имеет локальный максимум в точках β, β1 и локальный минимум в точках α, α1 .

Утверждение 2. (Ферма) Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке α и имеет в этой точке локальный экстремум. Тогда f ′ (α) = 0.

Идея доказательства теоремы Ферма следующая. Пусть для определенности f (x) имеет в точке α локальный минимум. По определению f ′ (α) есть предел при x → 0 отношения

	f (α + x) − f (α)
Но при достаточно малых (по абсолютной величине) x
	f (α + x) − f (α) ≥ 0.
Следовательно, при таких	x получаем
Отсюда и следует, что
	f ′ (α) = lim g(Δx) = 0.
Проведите полное доказательство самостоятельно.
Утверждение 3. (Ролля)	Если y = f (x) непрерывна на			Дифференцируема на
(a, b) и f (a) = f (b), то существует такая точка α (a, b),				что f ′ (α) = 0.

Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке, найдутся такие точки x1 , x2 , что

экстремум. По условию теоремы f (x) дифференцируема в точке α. По теореме Ферма f ′ (α) = 0. Теорема доказана.

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл (рис. 5): если крайние ординаты кривой y = f (x) равны, то на кривой y = f (x) найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси Ox.

Утверждение 4. (Коши) Пусть f (x), g(x) непрерывны на , дифференцируемы на (a, b) и g′ (x) =6 0 при любом x (a, b). Тогда найдется такая точка α (a, b), что

		f ′ (α)
		g′ (α)

Доказательство. Заметим, что g(a) =6 g(b). Действительно, в противном случае для функции g(x) были бы выполнены все условия теоремы Ролля. Следовательно, нашлась бы такая точка β (a, b), что g′ (β) = 0. Но это противоречит условию теоремы.

Рассмотрим следующую вспомогательную функцию:

F (x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a) (g(x) − g(a)). g(b) − g(a)

Функция F (x) непрерывна на ,				дифференцируема на (a, b). Кроме того, очевидно,
что′	F (a) = F (b) = 0. Поэтому по теореме Ролля найдется такая точка α (a, b), что
F (α) = 0, т. е.
	f ′ (α)								g′ (α) = 0.
			− g(b)
Отсюда следует
								f ′ (α)
								g′ (α)

Теорема доказана.

Утверждение 5. (Лагранжа) Если y = f (x) непрерывна на , дифференцируема на (a, b), то найдется такое α (a, b), что

F ′ (α).

Доказательство. Теорема Лагранжа прямо следует из теоремы Коши при g(x) =

Геометрически теорема Лагранжа означает, что на кривой y = f (x) между точками

A и B найдется такая точка C, касательная в которой параллельна хорде AB. y

Решение. Так как функция f (x) непрерывна и дифференцируема при всех

значениях x и ее значения на концах отрезка				Равны: f (1) = f (5)
теорема Ролля на этом отрезке		выполняется. Значение c					определяем		уравнения
f ′ (x) = 2x − 6 = 0, т. е. c = 3.						найти точку		M, в которой
Пример 8. На дуге		AB кривой y = 2x − x
касательная параллельна хорде
Решение. Функция y = 2x −x			непрерывна и дифференцируема при всех значениях
x. По теореме Лагранжа между двумя значениями a = 1,							b = 3 существует значение

x = c, удовлетворяющее равенству y(b) − y(a) = (b − a) ·y′ (c), где y′ = 2 − 2x. Подставив соответствующие значения, получим

y(3) − y(1) = (3 − 1) · y′ (c),

(2 · 3 − 32 ) − (2 · 1 − 12 ) = (3 − 1) · (2 − 2c),

отсюда c = 2, y(2) = 0.

Таким образом, точка M имеет координаты (2; 0).

Пример 9. На дуге AB кривой, заданной параметрическими уравнениями

x = t2 , y = t3 , найти точку

M, в которой касательная параллельна хорде AB, если

точкам A и B соответствуют значения t = 1 и t = 3.

Решение. Угловой коэффициент хорды AB равен

А угловой коэффициент

касательной в точке M (при

t = c) равен

y′

(c)/x′

x′ = 2t,

y′ = 3t2 . Для

определения c по теореме Коши получаем уравнение

yt ′ (c)

xt ′ (c)

т. е. c = 13/6.

Найденное значение c удовлетворяет неравенству 1 < c < 3. Подставив значение t = c в параметрические уравнения кривой, получаем x = 169/36, y = 2197/216. Итак искомая точка M (169/36; 2197/216).

Дифференциал (первого порядка) функции - это главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента. Дифференциал аргумента равен его приращению:
. Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента
.

Основные свойства дифференциала:

1.
, где-const.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
,
.

6. ,
. Форма дифференциала первого порядка не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. В этом состоит свойствоинвариантности формы дифференциала первого порядка .

Дифференциалом второго порядка функции
называется дифференциал от дифференциала первого порядка:
.

Аналогично определяется дифференциал третьего порядка:
.Дифференциал n -го порядка:
.

Если
и- независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:

,
,…..,
.

Если
,
, то
, где дифференцирование функциивыполняется по переменной. Это имеет место и для дифференциалов более высоких порядков.

Дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы.

Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке
.

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то
и. Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.

Абсолютная величина разности между истинным значением какой-либо величины и ее приближенным значениемназывается абсолютной погрешностью и обозначается
.

Абсолютная величина отношения абсолютной погрешности к истинному значению называется относительной погрешностью и обозначается
. Относительная погрешность обычно выражается в процентах
.

Если приращение функции заменить ее дифференциалом, то получим приближенное значение приращения
. В этом случае абсолютная погрешность равна
, а относительная погрешность будет
.

С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную погрешность функции , если известна абсолютная погрешностьаргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной.

Пусть требуется вычислить значение функции
при некотором значении аргумента, истинная величина которого нам известна, но дано его приближенное значениес абсолютной погрешностью
,
. Тогда

Отсюда видно, что
.

Относительная погрешность функции выражается формулой

.

Пример 1. Найти дифференциал функции
.

Решение:
.

Пример 2. Найти все дифференциалы функции
.

Решение: ,

,
.

Пример 3. Найти
для неявно заданной функции
.

Решение: Функция задана неявно. Находим первую производную

, тогда
.

Вычислим вторую производную

, отсюда
.

Пример 4. Выразить дифференциал сложной функции через независимую переменную и дифференциал:
,
,
.

Решение:
.
.

Пример 5. Вычислить приближенное значение
.

Решение: Рассмотрим функцию
. Полагая
,
и применяя формулу, получим:

Пример 6. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.

Решение: Воспользуемся формулой
. Полагая
,
, имеем. Следовательно, приближенное значение площади круга составляет.

Пример 7. Для функции
найти приращение ординаты касательной и приращение функции при переходе аргументаот значения
к
.

Решение: согласно геометрическому смыслу дифференциала, приращению ординаты касательной соответствует дифференциал функции
.

При
иполучим
.

Приращение функции находим по формуле

Следовательно, приращение ординаты касательной равно 0,7, а приращение функции 0,71. Т. к.
, то.

Пример 8. Найти дифференциал и приращение функции
в точке
и
. Найти абсолютную и относительную погрешности значения функции при замене приращения функции ее дифференциалом.

Решение: Имеем:
,

При
и
получим:

, .

Абсолютная погрешность
, а относительная погрешность
.

Пример 9. При измерении сторона куба оказалась равной 4 см. При этом максимально возможная погрешность измерения
находится в пределах
см. Определить абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема куба.

Решение: Объем куба равен
см.

Возможная неточность измерения
.

Отсюда абсолютная погрешность .

Относительная погрешность
.

Пример 10. Найти приближенно
.

Решение: Полагаем
, тогда
,

Если принять
, то
,
.

Найти дифференциалы указанных порядков от функций:

1.
,
-?. Ответ:
.

2.
,
-? Ответ:
.

3.
,
-? Ответ:
.

4.
,
-? Ответ:
.

5.
,
,
,
-? Ответ:
.

,
.

6.
,
-?

7.
,
-? Ответ:
.

8.
,
-? Ответ:
.

9.

-? Ответ:
.

10.

-? Ответ:
.

11.
,
-? Ответ:
.

12.
,
-? Ответ:.

13.
,
.
-? Ответ:
,
.

14.
,
,
-?

Ответ:
,
.

15.
-?

Найти приближенное значение:

16.
. Ответ: 0,811.

17.
. Ответ: 1,035.

18.
. Ответ: 0,078.

19.
. Ответ: 1,9938.

20.
. Ответ: 2,02.

21.
. Ответ:3,03.

22.
. Ответ:
.

23.
. Ответ:
.

24.
. Ответ: 0,1.

25.
. Ответ:
.

26. Определить, на сколько приблизительно увеличится объем шара, если его радиус
см увеличить на 0,2см. Ответ: 565
.

27. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м. Ответ: .

28. Сравнить приращение и дифференциал функции
.

Ответ:
,
.

29. Вычислить
,
для функции
при
и
.

Ответ:
,
.

30. Найти приближенное значение объема шара радиуса 2,01 м.

Ответ:
.

31. Найти приближенное значение из уравнения:

Ответ:
.

32. Найти приближенно значение объема шара радиуса
.

Ответ:
.

33. Ребра куба увеличены на 1см. При этом дифференциал
объемакуба оказался равным 12 см. Найти первоначальную длину ребер. Ответ: 2 см.

34. Радиус круга увеличен на 1см. Дифференциал площади круга оказался при этом равным
см. Найти первоначальную величину радиуса. Ответ: 3 см.

35. Определить приблизительно относительную погрешность при вычислении поверхности сферы, если при определении ее радиуса относительная погрешность составила
. Ответ:
.

Являясь неразрывно связанными между собой, оба они уже несколько столетий активно используются при решении практически всех задач, которые возникали в процессе научно-технической деятельности человека.

Возникновение понятия о дифференциале

Впервые разъяснил, что такое дифференциал, один из создателей (наряду с Исааком Ньютоном) дифференциального исчисления знаменитый немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. До этого математиками 17 ст. использовалось весьма нечеткое и расплывчатое представление о некоторой бесконечно малой «неделимой» части любой известной функции, представлявшей очень малую постоянную величину, но не равную нулю, меньше которой значения функции быть просто не могут. Отсюда был всего один шаг до введения представления о бесконечно малых приращениях аргументов функций и соответствующих им приращениях самих функций, выражаемых через производные последних. И этот шаг был сделан практически одновременно двумя вышеупомянутыми великими учеными.

Исходя из необходимости решения насущных практических задач механики, которые ставила перед наукой бурно развивающаяся промышленность и техника, Ньютон и Лейбниц создали общие способы нахождения скорости изменения функций (прежде всего применительно к механической скорости движения тела по известной траектории), что привело к введению таких понятий, как производная и дифференциал функции, а также нашли алгоритм решения обратной задачи, как по известной (переменной) скорости найти пройденный путь, что привело к появлению понятия интеграла.

В трудах Лейбница и Ньютона впервые появилось представление о том, что дифференциалы - это пропорциональные приращениям аргументов Δх основные части приращений функций Δу, которые могут быть с успехом применены для вычисления значений последних. Иначе говоря, ими было открыто, что приращение функции может быть в любой точке (внутри области ее определения) выражено через ее производную как Δу = y"(x) Δх + αΔх, где α Δх - остаточный член, стремящийся к нулю при Δх→0, гораздо быстрее, чем само Δх.

Согласно основоположникам матанализа, дифференциалы - это как раз и есть первые члены в выражениях приращений любых функций. Еще не обладая четко сформулированным понятием предела последовательностей, они интуитивно поняли, что величина дифференциала стремится к производной функции при Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x).

В отличие от Ньютона, который был прежде всего физиком, и рассматривал математический аппарат как вспомогательный инструмент исследования физических задач, Лейбниц уделял большее внимание самому этому инструментарию, включая и систему наглядных и понятных обозначений математических величин. Именно он предложил общепринятые обозначения дифференциалов функции dy = y"(x)dx, аргумента dx и производной функции в виде их отношения y"(x) = dy/dx.

Современное определение

Что такое дифференциал с точки зрения современной математики? Он тесно связан с понятием приращения переменной величины. Если переменная y принимает сначала значение y = y 1 , а затем y = y 2 , то разность y 2 ─ y 1 называется приращением величины y.

Приращение может быть положительным. отрицательным и равным нулю. Слово «приращение» обозначается Δ, запись Δу (читается «дельта игрек») обозначает приращение величины y. так что Δу = y 2 ─ y 1 .

Если величину Δу произвольной функции y = f (x) возможно представить в виде Δу = A Δх + α, где у A нет зависимости от Δх, т. е. A = const при данном х, а слагаемое α при Δх→0 стремится к нему же еще быстрее, чем само Δх, тогда первый («главный») член, пропорциональный Δх, и является для y = f (x) дифференциалом, обозначаемымdy или df(x) (читается «дэ игрек», «дэ эф от икс»). Поэтому дифференциалы - это «главные» линейные относительно Δх составляющие приращений функций.

Механическое истолкование

Пусть s = f (t) - расстояние прямолинейно движущейся от начального положения (t - время пребывания в пути). Приращение Δs - это путь точки за интервал времени Δt, а дифференциал ds = f" (t) Δt - это путь, который точка прошла бы за то же время Δt, если бы она сохранила скорость f"(t), достигнутую к моменту t. При бесконечно малом Δt воображаемый путь ds отличается от истинного Δs на бесконечно малую величину, имеющую высший порядок относительно Δt. Если скорость в момент t не равна нулю, то ds дает приближенную величину малого смещения точки.

Геометрическая интерпретация

Пусть линия L является графиком y = f (x). Тогда Δ х= MQ, Δу = QM" (см. рисунок ниже). Касательная MN разбивает отрезок Δу на две части, QN и NM". Первая пропорциональна Δх и равна QN = MQ∙tg (угла QMN) = Δх f "(x), т. е QN есть дифференциал dy.

Вторая часть NM"дает разность Δу ─ dy, при Δх→0 длина NM" уменьшается еще быстрее, чем приращение аргумента, т.е у нее порядок малости выше, чем у Δх. В рассматриваемом случае, при f "(x) ≠ 0 (касательная не параллельна ОХ), отрезки QM"и QN эквивалентны; иными словами NM" уменьшается быстрее (порядок малости ее выше), чем полное приращение Δу = QM". Это видно на рисунке (с приближением M"к М отрезок NM"составляет все меньший процент отрезка QM").

Итак, графически дифференциал произвольной функции равен величине приращения ординаты ее касательной.

Производная и дифференциал

Коэффициент A в первом слагаемом выражения приращения функции равен величине ее производной f "(x). Таким образом, имеет место следующее соотношение - dy = f "(x)Δх, или же df (x) = f "(x)Δх.

Известно, что приращение независимого аргумента равно его дифференциалу Δх = dx. Соответственно, можно написать: f "(x) dx = dy.

Нахождение (иногда говорят, «решение») дифференциалов выполняется по тем же правилам, что и для производных. Перечень их приведен ниже.

Что более универсально: приращение аргумента или его дифференциал

Здесь необходимо сделать некоторые пояснения. Представление величиной f "(x)Δх дифференциала возможно при рассмотрении х в качестве аргумента. Но функция может быть сложной, в которой х может быть функцией некоторого аргумента t. Тогда представление дифференциала выражением f "(x)Δх, как правило, невозможно; кроме случая линейной зависимости х = at + b.

Что же касается формулы f "(x)dx= dy, то и в случае независимого аргумента х (тогда dx = Δх), и в случае параметрической зависимости х от t, она представляет дифференциал.

Например, выражение 2 x Δх представляет для y = x 2 ее дифференциал, когда х есть аргумент. Положим теперь х= t 2 и будем считать t аргументом. Тогда y = x 2 = t 4 .

Это выражение не пропорционально Δt и потому теперь 2xΔх не является дифференциалом. Его можно найти из уравнения y = x 2 = t 4 . Он оказывается равен dy=4t 3 Δt.

Если же взять выражение 2xdx, то оно представляет дифференциал y = x 2 при любом аргументе t. Действительно, при х= t 2 получим dx = 2tΔt.

Значит 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, т. е. выражения дифференциалов, записанные через две разные переменные, совпали.

Замена приращений дифференциалами

Если f "(x) ≠ 0, то Δу и dy эквивалентны (при Δх→0); при f "(x) = 0 (что означает и dy = 0), они не эквивалентны.

Например, если y = x 2 , то Δу = (x + Δх) 2 ─ x 2 = 2xΔх + Δх 2 , а dy=2xΔх. Если х=3, то имеем Δу = 6Δх + Δх 2 и dy = 6Δх, которые эквивалентны вследствие Δх 2 →0, при х=0 величины Δу = Δх 2 и dy=0 не эквивалентны.

Этот факт, вместе с простой структурой дифференциала (т. е. линейности по отношению к Δх), часто используется в приближенных вычислениях, в предположении, что Δу ≈ dy для малых Δх. Найти дифференциал функции, как правило, легче, чем вычислить точное значение приращения.

Например, имеем металлический куб с ребром х=10,00 см. При нагревании ребро удлинилось на Δх = 0,001 см. Насколько увеличился объем V куба? Имеем V = х 2 , так что dV = 3x 2 Δх = 3∙10 2 ∙0/01 = 3 (см 3). Увеличение объема ΔV эквивалентно дифференциалу dV, так что ΔV = 3 см 3 . Полное вычисление дало бы ΔV =10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Но в этом результате все цифры, кроме первой ненадежны; значит, все равно, нужно округлить его до 3 см 3 .

Очевидно, что такой подход является полезным, только если возможно оценить величину привносимой при этом ошибки.

Дифференциал функции: примеры

Попробуем найти дифференциал функции y = x 3 , не находя производной. Дадим аргументу приращение и определим Δу.

Δу = (Δх + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δх + (3xΔх 2 + Δх 3).

Здесь коэффициент A= 3x 2 не зависит от Δх, так что первый член пропорционален Δх, другой же член 3xΔх 2 + Δх 3 при Δх→0 уменьшается быстрее, чем приращение аргумента. Стало быть, член 3x 2 Δх есть дифференциал y = x 3:

dy=3x 2 Δх=3x 2 dx или же d(x 3) = 3x 2 dx.

При этом d(x 3) / dx = 3x 2 .

Найдем теперь dy функции y = 1/x через ее производную. Тогда d(1/x) / dx = ─1/х 2 . Поэтому dy = ─ Δх/х 2 .

Дифференциалы основных алгебраических функций приведены ниже.

Приближенные вычисления с применением дифференциала

Вычислить функцию f (x), а также ее производную f "(x) при x=a часто нетрудно, а вот сделать то же самое в окрестности точки x=a бывает нелегко. Тогда на помощь приходит приближенное выражение

f(a + Δх) ≈ f "(a)Δх + f(a).

Оно дает приближенное значение функции при малых приращениях Δх через ее дифференциал f "(a)Δх.

Следовательно, данная формула дает приближенное выражение для функции в конечной точке некоторого участка длиной Δх в виде суммы ее значения в начальной точке этого участка (x=a) и дифференциала в той же начальной точке. Погрешность такого способа определения значения функции иллюстрирует рисунок ниже.

Однако известно и точное выражение значения функции для x=a+Δх, даваемое формулой конечных приращений (или, иначе, формулой Лагранжа)

f(a+ Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f(a),

где точка x = a+ ξ находится на отрезке от x = a до x = a + Δх, хотя точное положение ее неизвестно. Точная формула позволяет оценивать погрешность приближенной формулы. Если же в формуле Лагранжа положить ξ = Δх /2, то хотя она и перестает быть точной, но дает, как правило, гораздо лучшее приближение, чем исходное выражение через дифференциал.

Оценка погрешности формул при помощи применения дифференциала

В принципе неточны, и привносят в данные измерений, соответствующие ошибки. Их характеризуют предельной или, короче, предельной погрешностью - положительным числом, заведомо превышающим эту ошибку по абсолютной величине (или в крайнем случае равным ей). Предельной называют частное от ее деления на абсолютное значение измеренной величины.

Пусть точная формула y= f (x) использована для вычисляения функции y, но значение x есть результат измерения и поэтому привносит в y ошибку. Тогда, чтобы найти предельную абсолютную погрешность │‌‌Δу│функции y, используют формулу

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

где │Δх│является предельной погрешностью аргумента. Величину │‌‌Δу│ следует округлить в сторону увеличения, т.к. неточной является сама замена вычисления приращения на вычисление дифференциала.